收敛函数必有界（收敛函数必有界正确吗）

1. 为什么收敛函数一定有界
2. 收敛函数必有界么？指数函数收敛但无界呀
3. 为什么收敛数列一定是有界数列
4. 为什么数列收敛不一定有界

为什么收敛函数一定有界

直观来说,如果函数在一点收敛,在这点附近的某个邻域,所有的函数值都汇聚在那个极限值附近,这当然就有界了.严格证明请自己看书.  

收敛函数必有界么？指数函数收敛但无界呀

收敛函数必有界指的是：若x->x。时，f(x)收敛，则f(x)在x。的某个领域上有界，不是指在整个定义域上有界；当x->+∞时，指数函数g(x)收敛，则存在X>0，使得g(x)在[X，+∞）上有界

为什么收敛数列一定是有界数列

因为收敛的意思就是不断的靠近某个数，无穷大是一个不断变化的函数，它不满足 [公式] ，所以无穷大不是一个实数，是一个函数的过程。

所以如果说收敛到无穷大，那是不可能的，因为你根本不知道无穷大到底多大，他甚至都不是一个数，你根本无法确定到底收敛到哪里去，根据函数的有界性可以证明发散数列不存在一个数 [公式] ，使得 [公式] ，所以要有一个确定的实数且函数不断的逼近这实数，才能说收敛到这个实数。所以数列有界了才能收敛，而收敛数列必定有界，这个界就是数列的极限。

因为数列收敛,设,由定义,对于,存在正整数,

n>N时,都有 (n>N),从而有 .

取,则对一切的n,都有,所以数列有界.

根据定理2,如果数列无界,则数列一定是发散的.但必须注意：有界数列不一定收敛.例如,数列是有界的.因为,但它却是发散的(见例4).可见,数列有界是数列收敛的必要条件,但不是充分条件．

为什么数列收敛不一定有界

1、例如(-1)^n，数列为-1，1，-1，1，...；一直震荡,显然有界，但是没极限。

2、收敛数列必有界，证明：设数列{An}，n>=1，收敛于A，则对任意的a>0，存在一个N，使得对一切n>N有|An-A|<a；取a=1，则存在N'，使|An-A|<1对所有n>N'成立，即有|An|=|An-A+A|<=|An-A|+|A|<1+|A|。

再注意N'之前只有有限项，所以取M=max{|A1|，|A2|，…|A_N'|，1+|A|}，则有|An|<M 对任意n>=1成立，也即数列有界。

有界数列不一定收敛，例子很多，比如：(-1)^n, 此数列在1与-1之间波动，不收敛。

扩展资料：

若数列{Xn}满足：对一切n 有Xn≤M（其中M是与n无关的常数） 称数列{Xn}上有界（有上界）并称M是他的一个上界。

对一切n 有Xn≥m（其中m是与n无关的常数）称数列{Xn}下有界（有下界）并称m是他的一个下界；数列{Xn}有界的一个等价定义是：存在正实数X，使得数列的所有项都满足|Xn|≤X，n=1，2，3，……。

有界不一定收敛是指此数列或函数存在上下限，但没有一种趋势是趋向于某一个确定的数，就像正弦函数一样，虽然有正负1给它作为上下限，但随着x的变化，函数值没有趋向于一个确定的1一样。

收敛一定有界指的是此数列或函数存在一个趋势，这个趋势的极限是一个确定的值，就像反比例函数一样。

收敛数列一定有界（反证,假设无界,肯定不收敛）

有界数列不一定收敛（反例,数列{(-1)^n}是有界的,但它却是发散的）

本质的不同数列的收敛是指当n趋于无穷时数列项趋于一个数，而数列的前面的有限项是一个确定的数,显然有界，当n趋于无穷时数列收敛，，说明后面的任意项都是一个有限的数。

而函数收不收敛是指当x趋于x0时，函数的敛散情况，当x趋于x0收敛，函数在x0处肯定是有界的，但并不代表x趋于x1就一定收敛，是否有界也不得而知。



扩展资料

有界数列不一定是收敛数列，例如，摆动数列。



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