复合函数偏导数公式（复合导数的运算法则）

1. 复合函数的偏导的链式法则公式
2. 复合导数的运算法则

复合函数的偏导的链式法则公式

对于一个复合函数 \(z = f(u, v)\)，其中 \(u = u(x, y)\) 和 \(v = v(x, y)\)，偏导的链式法则可以表示为：

\[\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}\]

\[\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}\]

这里，\(\frac{\partial z}{\partial u}\) 和 \(\frac{\partial z}{\partial v}\) 分别是 \(z\) 关于 \(u\) 和 \(v\) 的偏导数。 \(\frac{\partial u}{\partial x}\)，\(\frac{\partial u}{\partial y}\)，\(\frac{\partial v}{\partial x}\) 和 \(\frac{\partial v}{\partial y}\) 分别是 \(u\) 和 \(v\) 关于 \(x\) 和 \(y\) 的偏导数。

这个公式描述了复合函数在多个变量间的偏导数关系。

假设有两个函数f(x, y)和g(u, v), 其中u和v是x和y的函数。
则f(g(u, v))关于u和v的偏导数可表示为：
∂(f(g(u, v)))/∂u = (∂f(x, y)/∂x) * (∂g(u, v)/∂u) + (∂f(x, y)/∂y) * (∂g(u, v)/∂v)
∂(f(g(u, v)))/∂v = (∂f(x, y)/∂x) * (∂g(u, v)/∂u) + (∂f(x, y)/∂y) * (∂g(u, v)/∂v)
其中，∂f(x, y)/∂x表示f(x, y)关于x的偏导数，∂f(x, y)/∂y表示f(x, y)关于y的偏导数，∂g(u, v)/∂u表示g(u, v)关于u的偏导数，∂g(u, v)/∂v表示g(u, v)关于v的偏导数。

复合导数的运算法则

复合导数公式：设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x)；设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)。运算法则是先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。

设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。

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