凸函数定义证明（什么是凸函数）

1. 如何证明函数的期望函数是凸函数
2. 什么是凸函数
3. 凸函数的定义
4. 凹函数与凸函数的判定方法
5. 凸函数怎么写出单调性

如何证明函数的期望函数是凸函数

对于一元函数f(x)，我们可以通过其二阶导数f′′(x) 的符号来判断。如果函数的二阶导数总是非负，即f′′(x)≥0 ，则f(x)是凸函数。

对于多元函数f(X)，我们可以通过其Hessian矩阵（Hessian矩阵是由多元函数的二阶导数组成的方阵）的正定性来判断。如果Hessian矩阵是半正定矩阵，则是f(X)凸函数。

什么是凸函数

凸函数：图象向上（或者斜向上）凸起的函数，就是凸函数。凸函数的二阶导数小于0；凹函数：图象向上（或者斜向上）凹进的函数，就是凹函数。凹函数的二阶导数大于0。

凸函数的定义

函数$f(x)$在定义域内，如果对任意$x_1,x_2$，以及任意的$\lambda \in [0,1]$有

$$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2)$$

则称$f(x)$是凸函数。

     凸函数是指定义在某个实数区间上的函数，其图像在任意两点之间的部分均位于连接这两点的线段的上方。换句话说，对于这个函数上的任意两个点，连接这两点的线段上的所有点都落在函数图像上方或者与函数图像相切。

具体来说，设函数f(x)定义在实数区间[a, b]上。如果对于任意的x₁, x₂∈[a, b]，以及任意的0≤λ≤1，都有以下不等式成立：

f(λx₁ + (1-λ)x₂) ≤ λf(x₁) + (1-λ)f(x₂)

那么函数f(x)就被称为凸函数。

凹函数与凸函数的判定方法

函数凹凸性的判断方法是：

看导数，代数上，函数一阶导数为负，二阶导数为正（或者一阶正，二阶负），便是凸的，一阶与二阶同号为凹。函数在凹凸性发生改变的点称为拐点，拐点的二阶导数为0或不存在二阶导数。

1、凹函数定义：设函数y =f (x ) 在区间I 上连续，对x 1, x 2∈I ，若恒有f (则称y =f (x ) 的图象是凹的，函数y =f (x ) 为凹函数。

2、凸函数定义：设函数y =f (x ) 在区间I 上连续，对x 1, x 2∈I ，若恒有f (则称y =f (x ) 的图象是凸的，函数y =f (x ) 为凸函数。

如何判断一个函数是凸函数或是凹函数

函数上取两个点,这两个点之间的直线段,在函数曲线之上,说明函数是凹的。两点之间的直线段,在函数曲线之下,说明函数的是凸的。 因为直线段是直的。所以曲线在这个直的线段之上,就说明向上凸。曲线在这个直的线段之下,就说明向下凹。

方法一，直接由图象看出来；

方法二，用导数的知识:二阶导函数判断，二阶导函数大于零是凹函数，二阶导函数小于零是凸函数。

凸函数怎么写出单调性

证明：

如果 f f f 是可微的凸函数，则有

f ( y ) ≥ f ( x ) + ▽ f ( x ) T ( y − x ) , f ( x ) ≥ f ( y ) + ▽ f ( y ) T ( x − y ) . f(y) \geq f(x) + \bigtriangledown f(x)^T(y-x),\\ f(x) \geq f(y) + \bigtriangledown f(y)^T(x-y).

f(y)≥f(x)+▽f(x)

T

(y−x),

f(x)≥f(y)+▽f(y)

T

(x−y).

到此，以上就是小编对于凸函数定义证明不等式的妙处在哪的问题就介绍到这了，希望介绍的5点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。