凸函数证明（凸函数证明不等式）

1. 如何证明一个函数为凸函数，谢谢
2. 凸函数一定连续吗
3. 凸函数的公式

如何证明一个函数为凸函数，谢谢

1.凸函数的定义

1.对于一元函数f(x)，如果对于任意tϵ[0,1]均满足：f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2)，则称f(x)为凸函数(convex function)

2.如果对于任意tϵ(0,1)均满足：f(tx1+(1−t)x2)<tf(x1)+(1−t)f(x2)，则称f(x)为严格凸函数(convex function)

结论：一个函数为凸函数。
原因：如果一个函数f是凸函数，则对于任意的x1,x2∈[a,b],0≤t≤1，都有f(tx1 +(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2)。
凸函数的定义可以参考数学知识书籍或网络资料。
内容延伸：证明一个函数为凸函数的方法有很多，以下是其中一种方法：设f(x)在区间[a,b]上连续且二阶可导，则f(x)为凸函数等价于f''(x)≥0，即f''(x)是非负函数。
可以通过求导证明f''(x)≥0，从而得出结论。

凸函数一定连续吗

凸函数的定义出发, 凸函数与连续的关系, 得出了连续函数不一定是凸函数, 凸函数也不一定连 续的结论, 给出了判别连续凸函数的...内闭连续...凸函数在所定义的区间内是内闭连续的，因为凸函数在定义域的内部单侧可导，所以单侧连续，从而连续。

不连续的点出现在端点上，只要端点处的函数值大于其单侧的极限值，都能保持凸性

1. 紧集上的连续严格凸函数是有唯一极值点的。可以用反证法证明，假如x1, x2都是极值点，那么因为严格凸与x1,x2是极值点矛盾。证毕。

2. 开集上的严格凸函数不一定有极值点。比如通过求二阶导可以验证其在(-∞,0]是凸的，但是不存在极值。

3. 有界集上的连续可微函数是一定能通过梯度下降法找到极值点的，因为有如下定理（见[1], Page 38)："设pk是下降方向（不一定是梯度），ak是步长并满足Wolfe条件，设目标函数f在Rn上有界，且在开集N上连续可微，N是包含{x: f(x)<=f(x0), x0是初始点}的集合，假设▽f在N上Lipschitz连续，那么有"其中θk是下降方向pk与-▽f的夹角。

通过这条定理可以证明，梯度下降法和牛顿法，逆牛顿法都是收敛的。

(1) 令pk = -▽f 可推出，故梯度下降法收敛(2) 令可推出，故牛顿法收敛。

(3) 令，其中Bk是对称矩阵，可推出，故拟牛顿法收敛。

4. 理论上步长ak应该是计算出来的，在梯度下降法实际应用中通常都是把步长选取一个较小的ak(取大了会震荡)，是一个折衷的办法，但是实际效果还不错。参考文献[1] Numerical Optimization 2ed. Chapter 3.

对。 凸函数的性质之一为： 定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续，且在除可数个点之外的所有点可微。如果C是闭区间，那么f有可能在C的端点不连续。

凸函数的公式

凸函数,是数学函数的一类特征。凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。设f(x)在[a,b]上连续，若对[a,b]中任意两点x1，x2，恒有f[(x1+x2)/2]>=[f(x1)+f(x2)]/2则称f(x)在[a,b]上是向上凸的，简称上凸.f(x)是[a,b]上的凸函数

定义

定义1设f(x)在区间I上有定义,f(x)在区间I称为是凸函数当且仅当:∀x1，∀x2∈I,有f[λx1+（1-λ）x2]≥λf（x1)+(1-λ)f(x2)上式中“≥”改成“>”则是严格凸函数的定义。

定义2设f（x）在区间I上有定义,f（x）在区间I称为是凸函数当且仅当:∀x1，∀x2∈I，有f[（x1+x2）/2]≥f（x1）/2+f（x2）/2。

定义3设f（x）在区间I上有定义,f（x）在区间I称为是凸函数当且仅当∀x1、x2....xn∈I：,有f[（x1+x2+......xn）/n]≥[f（x1）+f（x2）+......f（xn）]/n。

定义4f(x)在区间I上有定义,当且仅当曲线y=f(x)的切线恒保持在曲线以下,则成f(x)为凸函数.若除切点之外,切线严格保持在曲线下方,则称曲线f(x)为严格凸的。

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