连续函数的导函数一定连续吗,导函数的连续性与原函数有什么关系

1. 连续函数的导函数一定连续吗
2. 导函数不连续的原因
3. 导数连续的定义是什么啊
4. 函数在区间内的可导和连续

连续函数的导函数一定连续吗

连续函数的导数不一定连续，在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0）运算，结果仍是一个在该点连续的函数。连续单调递增（递减）函数的反函数，也连续单调递增（递减）。连续函数的复合函数是连续的。

连续函数是指函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。对于这种现象，因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。

不一定(1) 连续函数的导数连续的例子很多,例如f(x)=x,f'(x)=1,显然f'(x)在(-∞,+∞)内连续(2) 连续函数的导数不连续的例子:f(x)= x²sin(1/x) (x≠0)0 (x=0)f'(0)=lim(x→0)[f(x)-f(0)]/(x-0)...

导函数不连续的原因

由于一个函数y（x）的导数f（x）上每一个点都是对应y（x）斜率的，所以当导函数不连续是，则说明y（x）x 定义不是全体实数。如函数F（x）分段函数

说明原函数存在一些 “不可导点”或者“不连续点”，
图像上看，就是原函数存在间断点，或者原函数虽然连续，但存在一些尖点(非光滑过渡的转折点)

原函数可导，导函数不一定连续。

举例说明如下：

当x不等于0时,f(x)=x^2*sin(1/x);

当x=0时，f(x)=0

这个函数在(-∞,+∞)处处可导。

导数是f'(x):

当x不等于0时,f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x);

当x=0时，f'(x)=lim{[f(x)-f(0)]/(x-0),x->0}=lim[xsin(1/x),x->0]=0

lim[f'(x),x->0]不存在，所以在x=0这一点处,f'(0)存在但f'(x)不连续。

扩展资料：

导数连续的定义是什么啊

　　连续导数就是说这个函数的导函数是连续的。　　函数在各点的导数值不同，因此存在一个该函数的导函数，也就是每一个x对应一个值，这个值就是原函数在该点的导数值，这就是导函数，简称导数。　　要弄明白导函数连续的意义首先要搞清楚函数连续的意思，就是说函数的图像是连在一起的，中间没有断开（没有间断点）。导数表示愿函数在该点的斜率大小，导函数连续说明原函数的斜率是连续变化的，而并没有在某点发生突变。　　关于函数的导数和连续有常用的推论：　　

1、连续的函数不一定可导.　　

2、可导的函数是连续的函数.　　

3、越是高阶可导函数曲线越是光滑.　　

4、存在处处连续但处处不可导的函数.

函数在区间内的可导和连续

函数在某区间内可导和连续的概念如下：

1. 连续函数：若函数f(x)在区间[a, b]内的每一点都连续，即函数在该区间内的图像没有断裂、跳跃或尖点，则称函数在区间[a, b]上连续。用数学符号表示为：对于区间[a, b]内的任意x值，都存在f(x)的极限值，即lim(x->x0) f(x) = f(x0)。

2. 可导函数：若函数f(x)在区间[a, b]内除了有限个或可数个点外，其余点均可导，则称函数在区间[a, b]内可导。用数学符号表示为：对于区间[a, b]内的任意x值，都存在f'(x)的极限值，即lim(h->0) [f(x0+h) - f(x0)]/h存在。

值得注意的是，函数的连续性和可导性之间存在一定关系。根据柯西-黎曼定理，如果一个函数在区间[a, b]内连续，那么它在该区间内几乎处处可导（即除了有限个或可数个点外，其余点均可导）。然而，可导性并不能保证连续性，例如有间断点的函数仍然可以是可导函数。

到此，以上就是小编对于导函数的连续性与原函数有什么关系的问题就介绍到这了，希望介绍的4点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。