凸函数的证明（凸函数的证明例题）

1. 如何证明函数是凸函数
2. 怎样证明凸函数
3. 凸函数等号成立条件
4. 什么是凸函数
5. 凸函数在定义区间内的每一点均有左右导数吗

如何证明函数是凸函数

对于一元函数f(x),我们可以通过其二阶导数f′′(x) 的符号来判断。如果函数的二阶导数总是非负,即f′′(x)≥0 ,则f(x)是凸函数。

对于多元函数f(X),我们可以通过其Hessian矩阵(Hessian矩阵是由多元函数的二阶导数组成的方阵)的正定性来判断。

怎样证明凸函数

1. 利用二阶导数的定义：如果函数的二阶导数恒大于等于零，那么该函数是凸函数。具体而言，对于定义域内的任意 x，如果函数 f(x) 的二阶导数 f''(x) 大于等于零，则该函数是凸函数。

2. 利用 Jensen 不等式：如果对于定义域内的任意 x 和 y，以及 0≤θ≤1，有 f(θx + (1-θ)y) ≤ θf(x) + (1-θ)f(y)，则函数 f(x) 是凸函数。这个不等式表明函数的值在两个点的线段上，不超过这条线段连接的两个点在函数上对应点的值。

3. 利用一阶导数的定义：如果函数在定义域内的任意两点上连线上的值不超过这两点在函数上的对应值，那么该函数是凸函数。具体而言，对于定义域内的任意 x 和 y，如果 f(y) ≥ f(x) + f'(x)(y-x)，则该函数是凸函数。

凸函数等号成立条件

判断是否是严格凸函数将用到延森不等式，而该不等式等号成立的条件是f(x1)/x1=f(x2)/x2=...=f(xn)/xn。

什么是凸函数

凸函数：图象向上（或者斜向上）凸起的函数，就是凸函数。凸函数的二阶导数小于0；凹函数：图象向上（或者斜向上）凹进的函数，就是凹函数。凹函数的二阶导数大于0。

凸函数在定义区间内的每一点均有左右导数吗

需要加条件区间的内点，闭区间的端点处不一定例如半圆y＝－（1－x∧2）∧1/2在±1时不存在在任意内点a存在是因为构造函数F（h）＝f(h)－f(a) / h－a 在区间内递增 （h≠a ）利用单调有界证明它在a处存在左右极限（但不一定相等，相等的话则f（x）在a处可导）

到此，以上就是小编对于凸函数的证明例题的问题就介绍到这了，希望介绍的5点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。