函数的通解（函数通解表达式）

1. 求通解的方法
2. 函数通解表达式
3. 高数通解公式三种情况
4. 通解的三种形式

求通解的方法

通解可以运用特征线法，分离变量法和特殊函数法。

1、通解是线性方程组的解的一般形式，又称为一般解。方程依靠等式各部分的关系，和加减乘除各部分的关系（加数+加数=和，和-其中一个加数=另一个加数，差+减数=被减数，被减数-减数=差，被减数-差=减数，因数×因数=积，积÷一个因数=另一个因数，被除数÷除数=商，被除数÷商=除数，商×除数=被除数）。

2、数学中的特征线法是求解偏微分方程的一种方法，适用于准线性偏微分方程的求解。基本思想是通过把双曲线型的准线性偏微分方程转化为两组常微分方程，再对常微分方程进行求解。两组常微分方程中的一组用于定义特征线，另一组用以描述解沿给定特征线变化。

求微分方程通解的方法有很多种，如：特征线法，分离变量法及特殊函数法等等。而对于非齐次方程而言，任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解，就可以得到非齐次方程的通解。

每次都有一个任意常数，等式两边求不定积分：y＇＝x＾2＋C1，再对等式两边求不定积分：y＝（x＾3）／3＋C1x＋C2。对一个微分方程而言，它的解会包括一些常数，对于n阶微分方程，它的含有n个独立常数的解称为该方程的通解。

函数通解表达式

二次函数有3种表达式

一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0）

顶点式：y=a(x+m)^2+h（a≠0）

一般式转化为顶点式：y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a

其中顶点坐标为〖b/2a,(4ac-b^2)/4a〗

高数通解公式三种情况

特征方程为s^2-4=0, s=2,s=-2，所以通解为c1 e^(2x)+c2e^(-2x)

设特解为ke^x，则y''=ke^x, y''-4y=(k-4)e^x, k=5

所以解为c1 e^(2x)+c2e^(-2x)+5e^x

非齐次的特解

设y*=e^(-x)(acosx+bsinx)

例如二阶常系数齐次线性方程的形式为：y''+py'+qy=0其中p，q为常数，其特征方程为λ^2+pλ+q=0依据判别式的符号，其通解有三种形式：

1、△=p^2-4q>0，特征方程有两个相异实根λ1，λ2，通解的形式为y(x)=C1*[e^(λ1*x)]+C2*[e^(λ2*x)]

;2、△=p^2-4q=0，特征方程有重根，即λ1=λ2，通解为y(x)=(C1+C2*x)*[e^(λ1*x)]

;3、△=p^2-4q<0，特征方程具有共轭复根α+-(i*β),通解为y(x)=[e^(α*x)]*(C1*cosβx+C2*sinβx)。至于n阶以及非齐次线性方程的情况

通解的三种形式

  第一种：两个不相等的实根：y=C1e^（r1x）+C2e^（r2x）。第二种：两根相等的实根：y=（C1+C2x）e^（r1x）。第三种：一对共轭复根：r1=α+iβ，r2=α-iβ：y=e^（αx）*（C1cosβx+C2sinβx）。

  拓展：二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f（x）的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f（x）为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。

  若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。

到此，以上就是小编对于函数的通解和特解的问题就介绍到这了，希望介绍的4点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。