周期函数性质（周期函数的两个特性）

1. 周期函数的积分性质
2. 周期函数的两个特性
3. 周期函数的特征
4. 周期函数的基本特征

周期函数的积分性质

周期函数积分性质公式：a代任何值时一个周期的导数都为零，所以与a无关。任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。

  设f（x）是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质：f（x+T）=f（x），则称f（x）是数集M上的周期函数，常数T称为f（x）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（x）的最小正周期。

周期函数的两个特性

周期函数y=f(x)除了具有他的基本的一般函数的性质以外，他还具备以下的主要特征，主要是在：

存在一个常数T，在其定义域内对所有的x，有f(x+T)=f(x)由此可以得到：

如果T>0，则其在定义域在x轴正向上达到+∞；

如果T<0，则其在定义域在x轴负向上达到-∞

周期函数的性质共分以下几个类型：

（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。

（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。

（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。

（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。

（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。周期函数的判定方法分为以下几步：

（1）判断f（x）的定义域是否有界；

例：f（x）=cosx（≤10）不是周期函数。

（2）根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f（x+T）= f（x）中是与x无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f（x+T）- f（x）=0，若能解出与x无关的非零常数T便可断定函数f（x）是周期函数，若这样的T不存在则f（x）为非周期函数。

周期函数的特征

周期函数的四个特点：

（1）首先满足函数的特征性质

（2）如果对任意的x，存在某个数T有：f（x+T）=f（x）。

则我们称f（x）为周期为T的周期函数。

最小正周期：

周期函数中的，最小的，且为正数的T为函数的最小正周期。

举一个简单的生活例子：

一周有七天，今天是周二，而七天以后还是周二，那么数字七就是一周的一个周期，同样的道理，七天之前也还是周二，因此数字负七也是一个周期。而14天以后的今天也还是周二，说明14也是个周期，而所有这些周期中最小的正数7就为一个最小正周期。

周期函数的第三个特征性质：

（3）如果T为函数f（x）的周期，那么T任何整数倍都是f（x）的一个周期。

周期函数:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.

周期函数的基本特征

周期函数的图像周期性重复出现。定义：对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。

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