凸凹函数（什么是凹凸性的分界点）

1. 讲解函数的凹凸性
2. 什么是凹凸性的分界点
3. 幂函数的凹凸性
4. 函数凹凸区间的分界线
5. 什么叫凹凸区间
6. 上凸函数和下凸函数，与函数的凹凸性有什么区别吗?求教

讲解函数的凹凸性

函数的凹凸性指的是：函数图象所表现出来的凹凸性，即函数在二元坐标系表现出的性质。如一元二次函数，其解析式可表示为：y=ax^2+bx+c（a≠0）

当a＞0时，二次函数有最小值，所以函数图象表现为凹性，

当a＜0时，二次函数有最大值，所以函数图象表现为凸性。

其函数图象表示如下：

总而言之，函数的凹凸性为函数图象的直观表示。

什么是凹凸性的分界点

该分界点应该叫做拐点。
拐点，又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即曲线的凹凸分界点）。若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在。

幂函数的凹凸性

y=x^a(a为常数）的函数叫幂函数

当α>0，

在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大，显示凹；

0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0，显示凸

a=1时，y=x是直线，无凹凸性

当a<0时，呈双曲线性质，无所谓凹凸性。

当a=0时，除了x=0无意义外，其余都处于y=1的直线，无凹凸性。

函数凹凸区间的分界线

讨论二阶导数的正负，若在某区间为正则为凹区间，若在某区间为负则为凸区间。

一般地，把满足[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2]的区间称为函数f(x)的凹区间；反之为凸区间；凹凸性改变的点叫做拐点。

通常凹凸性由二阶导数确定：满足f''(x)>0的区间为f(x)的凹区间，反之为凸区间；

例：求y=x^3-x^4的凸凹区间和拐点。

解：y'=3x2-4x3，y''=6x-12x2；

y''>0，得：0<x<1/2；

所以，凹区间为(0,1/2)；凸区间为(-∞,0)，(1/2,+∞)；拐点为(0,0)，(1/2,1/16)；

函数的定义：

给定一个数集A，假设其中的元素为x。现对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B。假设B中的元素为y。则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

什么叫凹凸区间

凹凸区间是函数二阶导数的正负。如果是正的,就是凹的,如果是负的,就是凸的。 一般满足[f(x1) f(x2)]/2f[(x1 x2)/2]的区间称为函数f(x)的凹区间;相反,它是一个凸区间;凹凸变化的点叫做拐点。

凹凸区间的求解方法是:求该函数的二阶导数,讨论二阶导数的正负,若在某区间为正则为凹区间...

函数的二阶导数，若在某区间为正则为凹区间，若在某区间为负则为凸区间；

上凸函数和下凸函数，与函数的凹凸性有什么区别吗?求教

上凸函数是凸函数 下凸函数是凹函数 上凸函数定义: 设函数f(x)定义在[a,b]上,如果对于任意三数x1,x2,x3,a<x1<x2<x3<b,都有f(x2)≥L(x2),其中L(x)是过点(x1,f(x1))与(x3,f(x3))的直线方程.

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